A törtek egyszerűsítése érthetően

Minden törtes feladat utolsó lépése a törtek egyszerűsítése. De miért kérik ezt mindig tanárok? Mi az értelme? És a lényeg: hogyan csináld?

A törtek egyszerűsítésének lényege

A törtek egyszerűsítésének a lényege, hogy a ronda törteket barátságosabb alakra hozzuk. Ha belegondolsz, a \(10\over60\) nem túl szimpatikus tört. Ennek van egyszerűbb alakja is. De hogyan? Erre való a törtek egyszerűsítése.

A törtek egyszerűsítése azt jelenti, hogy a számlálót és a nevezőt (a törtvonal felett és alatt lévő számot) olyan alakra hozod, ahol már nem osztható tovább, azaz nincs olyan szám, amellyel a számláló és a nevező is elosztható.

A törtek egyszerűsítése: az egyszerű, de lassú mód

A törtek egyszerűsítésének van egy olyan módja, amely elég sokáig eltarthat, de ha valamiért nincs jobb ötleted, akkor ez is egy megoldás.

Keress egy olyan számot, amellyel a számlálót és a nevezőt is el tudod osztani. Oszd el! Aztán nézd meg, van-e még olyan szám, amivel ismét elosztható a számláló és a nevező. Ezt addig csináld, amíg már nem találsz másik osztót (amivel osztasz).

Azonban vigyáznod kell, mert könnyen előfordulhat, hogy marad még olyan osztó, amivel tudnál osztani, csak te nem vetted észre.

Nézzünk egy példát erre a módszerre:

$${10\over60}{=}{10:2\over60:2}{=}{5\over30}{=}{5:5\over30:5}{=}{1\over6}$$

Most elég szerencsések voltunk, mert csak kétszer kellett elosztani a törtet (a 2-vel és az 5-vel). Azonban előfordulhat, hogy van akár öt vagy még több szám is, amelyikkel el tudod osztani a törtet.

Azt hiszem, ez alapján te is látod, hogy lennie kell jobb módszernek is. Így is van! Nézzük meg, melyik az!

A törtek egyszerűsítése a legnagyobb közös osztóval

Biztosan hallottál már a legnagyobb közös osztóról. Nem baj, ha nem emlékszel rá, mindjárt rájössz, miről is van szó.

A legnagyobb közös osztó – ahogyan a neve is mutatja – az a legnagyobb szám, amelyikkel két vagy több számot el tudsz osztani.  

Maradva a példánknál, a legnagyobb közös osztó az a legnagyobb szám, amelyikkel a 10-et és a 60-at is el tudjuk osztani. A törtek egyszerűsítése így sokkal gyorsabb, mindössze egy lépésben megoldható.

Ez mind szép és jó, de hogyan tudod meg, melyik az a szám?

A legnagyobb közös osztó meghatározásáról már írtam egy korábbi cikkemben. Most csak röviden vesszük át.

Megnézzük, hogy milyen számokkal osztható el a 10, és milyen számokkal a 60.

A jobboldalra írtam, hogy mivel osztok, a baloldalra pedig az eredményt.  Aztán megnézem, hogy van-e olyan szám, amivel az előző eredményt el tudom osztani.

Nagyon fontos, hogy csak prímszámokkal szabad osztani, azaz olyan számokkal, amelyeknek csak 2 db osztója van, az 1 és önmaga. Ilyenek például a 2, a 3, az 5, a 7, a 11, a 13, a 17 és a 19 is.

Most pedig nagyon leegyszerűsítve az a dolgod, hogy írd fel hatvány alakban az osztókat, így:

10=2*5

60=\(2^2*3*5\)

Szorozd össze azokat a számokat, amelyek mindkét helyen szerepelnek, de mindig csak a legkisebb hatványon:

2*5=10

Így már tudjuk is, hogy a 10 lesz a legnagyobb közös osztó. Azaz, ha gyorsan akarod egyszerűsíteni a törtet, akkor a 10-et és a 60-at 10-zel kell elosztanod:

$${10\over60}{=}{10:10\over60:10}{=}{1\over6}$$

Lehet, hogy ez elsőre bonyolultabbnak és nehezebbnek tűnik. Ebben az esetben igazad is lehet, hiszen ezt akár fejben is kiszámolhattad.

De, ha ezzel a módszerrel számolsz, sokkal kisebb esélye van, hogy hibázol. Gyakorold be, és már nem is lesz nehéz. A nagyon nagy, nehéz törtéknél ez a második módszer hihetetlen segítség lesz számodra a törtek egyszerűsítésében.

Törtek egyszerűsítése: értelmezzük az eredményt

Ha jól számolsz, a törtek egyszerűsítése után ugyanazt az eredményt kell kapnod csak más alakban, mint az eredeti törtek esetében volt.

Nézzük csak meg!

A \(10\over60\) így néz ki:
Az \(1\over6\) pedig így:
Ha megnézed a kép ábrát, akkor láthatod, hogy a \(10\over60\) ugyanakkora, mint az \(1\over6\). Így tudod, hogy a törtek egyszerűsítése ugyanazt az eredményt mutatja meg barátságosabb, egyszerűbb formában.

Szólj hozzá!