A legkisebb közös többszörös meghatározása

A legkisebb közös többszörös fogalma sokak számára elsőként különösnek tűnik, pedig nagyon egyszerű témáról van szó. A legkisebb közös többszörös meghatározásának titka néhány egyszerű lépésben rejlik.

A legkisebb közös többszörös fogalma

Elsőként nézzük meg a többszörös szó jelentését. Amikor többszörösről beszélünk, akkor a természetes számok szorzatait szoktuk vizsgálni. A természetes számokat a 0 és a pozitív egész számok teszik ki (pl. 0; 1; 2; 3; 4; 5; …; 50; 51; …).

Ha megszorzunk egy természetes számot egy vagy több másik természetes számmal, akkor megkapjuk a többszörösét.

Megjegyzések:

• A 0 minden természetes számnak a többszöröse. Pl.: 0·1=0; 0·15=0.
• Az 1-nek minden természetes szám a többszöröse. Pl.: 1·0=0; 1·15=15.
• Minden természetes szám többszöröse önmagának (ilyenkor az egyszeresét vesszük). Pl.: 2·1=2; 20·1=20.
• Minden 0-tól különböző természetes számnak végtelen sok többszöröse van.

Például, ha a 4 többszöröseit nézzük, akkor az a 0; 4; 8; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; 56; 60; stb. A 10 többszörösei pedig a 0; 10; 20; 30; 40; 50; 60; stb.

Két vagy több szám közös többszörösén azokat a számokat értjük, amelyeknek mindegyik adott szám (amelyeknek a közös többszörösét keressük) az osztója (a 20, a 40, a 60, stb. a 4 és a 10 többszörösei, mert mindegyik számot el tudjuk osztani 4-gyel és 10-zel).

Láthatod, hogy a 4 és a 10 többszörösei között is szerepel a 20, a 40 és a 60. A három szám közül a legkisebb a 20, ezért ez a 4 és a 10 legkisebb közös többszöröse.

A legkisebb közös többszörös a közös többszörösek közül a legkisebb szám (a 4 és a 10 esetében a 20). Rövidítése: lkkt. Jele: [ ]

A legkisebb közös többszörös megtalálásával sokkal gyorsabban tudsz törtes feladatokat megoldani, azaz törteket bővíteni.

A prímszám fogalma

A legkisebb közös többszörös megtalálása a fenti módszerrel (egyesével felsoroltuk a többszöröseket) elég sokáig tartana egyes számok esetében.

Ahhoz, hogy a legkisebb közös többszöröst gyorsan ki tudd találni, elsőként meg kell ismernünk a prímszámokat.

Prímszámnak azokat a számokat nevezzük, amelyeknek kizárólag két osztójuk van, azaz csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók. A prímszám a prím és a szám szavakból tevődik össze. A prím szó a prímszám egy másik elnevezése, eredetileg azt jelentette, hogy elsődleges, első, előtt.

Néhány prímszám: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47.

Az 1 nem prímszám, mert nincs két osztója. A 4 sem prímszám, mert osztható 1-gyel, 2-vel és 4-gyel is.

A legkisebb közös többszörös meghatározása gyorsabb módszerrel

A prímszámok azért fontosak a legkisebb közös többszörös meghatározásához, mert ennél a gyorsabb módszernél azt nézzük meg, hogy az adott számok melyik prímszámmal, és hányszor oszthatók. Ezt hívjuk prímtényezős felbontásnak. (A szorzásnál azokat a számokat nevezzük tényezőknek, amelyeket összeszorzunk. Például: 2∙2=4, a 2-esek a tényezők.)

A legkisebb közös többszörös meghatározását és a prímtényezős felbontást tovább tudod gyorsítani, ha ismered az oszthatósági szabályokat.

Nézzünk erre egy példát! Határozzuk meg ezzel a módszerrel a 4 és a 10 legkisebb közös többszörösét!

A következő lépéseken haladunk végig:

1. Lépés a legkisebb közös többszörös meghatározásához

Úgy kezdjük el, hogy felírjuk a számokat, húzunk mindkettő mellé egy függőleges vonalat. Ezzel sokkal átláthatóbb lesz.

2. Lépés a legkisebb közös többszörös meghatározásához

A vonal másik oldalára odaírjuk azt a prímszámot, amelyikkel osztani szeretnénk. A prímszámok sorrendje teljesen mindegy, bármelyikkel kezdheted.

3. Lépés a legkisebb közös többszörös meghatározásához

Elosztjuk a prímszámmal a számot, majd az eredményt a vonal baloldalára írjuk.

4. Lépés a legkisebb közös többszörös meghatározásához

A 2-3. lépéseket ismételjük, addig, amíg már nem találunk több osztót (prímszámot).

5. Lépés a legkisebb közös többszörös meghatározásához

Felírjuk az adott számokat a prímtényezők szorzataként. Ehhez a vonal jobboldalán lévő számokat szorozzuk össze. Érdemes hatványként írni a számokat, mert a következő lépésben szükség lesz erre a legkisebb közös többszörös meghatározásához.

4=2∙2=2²

10=2∙5

6. Lépés a legkisebb közös többszörös meghatározásához

A két szám legkisebb közös többszörösét úgy kapjuk meg, hogy minden előforduló prímszámot összesorzunk az előforduló legnagyobb hatványon.

Lkkt [4;10]=2²∙5=20

A 20 az a legkisebb szám, amelyikben a 4 és a 10 is maradék nélkül elosztható.