Az egyenletek témaköre sokak számára nehezen érthető. Gyakran előfordul, hogy bár úgy érzed, érted az egyenletek alapjait, mégis hibás a végeredmény. Ezt sokszor csak a figyelmetlenségnek tudják be, pedig egyszerű erre a megoldás: az egyenleteket is az alapoktól kell elsajátítani. Az egyenleteket addig érdemes gyakorolni, amíg már előre láthatóvá válik számodra, mi lesz a következő lépésed a megoldás során.
Mik az egyenletek?
Az egyenletek lényege, hogy az egyenlőségjel mindkét oldala ugyanaz – ezért teszünk közé egyenlőségjelet.
Például:
5 = 5
Az ismeretlen mindig egy számot jelöl. Ezt a számot egy betűvel (legtöbbször x) helyettesítjük.
Például:
5 = x
Az egyenleteket úgy képzeld el, mint a találós kérdéseket.
Például:
Melyik az a szám, amelyikhez 2-t adva 5-öt kapunk?
x+2 = 5
Ezt fejben is ki tudod számolni. A megoldás a 3, mert 3+2=5.
Az egyenletek megoldása
Az egyenleteket úgy oldjuk meg, hogy rendezzük azokat. Ez azt jelenti, hogy addig pakolgatjuk az ismeretleneket és a számokat az egyenlet egyik oldaláról a másikra, míg ki nem tudjuk számolni az ismeretlent. Ehhez később még további tudnivalókat, trükköket olvashatsz.
Például:
Oldjuk meg a következő egyenletet!
x+2 = 5
- Elsőként mindig gondolj arra, hogy ez egy találós kérdés: melyik számhoz kell 2-őt adni, hogy 5-öt kapjunk?
- Ezt fejben hogyan számolod ki? Az 5-ből kivonod a 2-t, igaz?
- Meg is kaptuk az eredményt, a 3-at.
Matematikai nyelven:
x+2 | = | 5 | /-2 |
x | = | 3 |
Az egyenletek megoldásának alapjai
Az egyenletek megoldásánál a következőkre figyelj:
- Az egyenletek rendezésénél mindig az egyenletben feltüntetett művelet ellenkezőjét végezzük el.
Egyenletekben lévő művelet | Így rendezd az egyenleteket |
Összeadás | Kivonás |
Kivonás | Összeadás |
Szorzás | Osztás |
Osztás | Szorzás |
Hatványozás | Gyökvonás |
Gyökvonás | Hatványozás |
- A műveleti sorrendet itt is be kell tartani, ezért a következő sorrendben végezzük el az egyenletekben a műveleteket:
- Zárójelen belüli részben elvégezhető műveletek
- Zárójel felbontás (ha több zárójel van, mindig kívülről haladuk befelé)
- Hatványozás, gyökvonás
- Szorzás, osztás (balról jobbra)
- Összeadás, kivonás (balról jobbra)
- Amikor az egyenleteket rendezed, akkor az egyenletek mindkét oldalán el kell végezned ugyanazt a műveletet, különben felborul az egyenlőség.
Például:
x+2 | = | 5 | /-2 |
x+2-2 | = | 5-2 | /öv. (összevonás, azaz elvégzem a kivonásokat) |
x | = | 3 |
|
Ebben az esetben az egyenlet baloldalából és a jobboldalából is kivontuk a 2-t, így kaptuk meg a 3-at. Ha csak az egyik oldalából vontuk volna ki, nem lett volna jó az eredmény.
- Az egyenletek rendezésénél mindig arra törekedj, hogy az ismeretlenek az egyik oldalon, a számok a másik oldalra kerüljenek.
Megjegyzések, trükkök az egyenletek megoldásához
- Azt, hogy mit módosítunk (rendezünk az egyenleteken), mindig egy / jellel írjuk a sorok mellé. A /-2 ezt jelenti, hogy kivonunk 2-t.
- Érdemes az egyenletet úgy rendezni, hogy a kisebb negatív számokat visszük át a másik oldalra, ugyanis így a végén kevesebb negatív számmal kell dolgoznunk, kisebb a hibázási lehetőség.
- Az összevonás azt jelenti, hogy nem rendezed az egyenleteket, hanem az egyik vagy mindkét oldalán van elvégezhető összeadás, kivonás, szorzás vagy osztás, így azokat egyszerűen csak kiszámolod.
Például:
x+2 | = | 5 | /-2 (mindkét oldalból kivonunk kettőt) |
x+2-2 | = | 5-2 | /öv. (összevonás, azaz elvégzem a kivonásokat, de NEM rendezem) |
x | = | 3 |
- A 2x ugyanaz, mint a 2∙x, csak a szorzás jelét elhagyjuk.
- Ugyanígy, a zárójel elé sem teszünk szorzás jelet, azaz a 2(x+3) ugyanaz, mint a 2∙(x+3).
- Az x ugyanaz, mint az +1x vagy az +1∙x, csak az +1-et nem írjuk ki.
- A -x ugyanaz, mint a -1x vagy a -1∙x, csak az 1-et nem írjuk ki.
- Az x+x egyszerűsíthető úgy, hogy 2∙x vagy 2x.
- Az egyenlőségjeleket érdemes mindig egymás alá írni, így átláthatóbb a feladat és nem keveredsz bele
- Ha az egyenlet végeredménye tört, egyszerű ebben a formában felírni, nem kell átírni tizedes törtté, ugyanis például a végtelen tizedes tört pontosabban felírható hagyományos tört alakban.
Példa az egyenletek megoldására – szöveges magyarázattal
Baloldal |
= |
Jobboldal | Elvégzendő művelet | Szöveges magyarázat |
2+3-5∙2+x | = | 4:2-2x | / öv. |
Összevonom, ami tudok az egyenlet rendezése nélkül. Sorrend a baloldalon: Sorrend a jobboldalon: |
-5+x | = | 2-2x | /+2x | Az egyenlet jobboldalán lévő -2x-et átviszem a másik oldalra, azaz mindkét oldalhoz hozzáadok 2x-et. (Azért a -2x-szel foglalkozom, mert az kisebb, mint a +x, így eltűnik a negatív ismeretlen). |
-5+3x | = | 2 | /+5 | A -5-öt úgy rendezem, hogy az egyenlet mindkét oldalához hozzáadok 5-öt. |
3x | = | 7 | /:3 | Mivel a 3x ugyanaz, mint a 3∙x, ezért az egyenlet mindkét oldalát osztom 3-mal. |
x | = | A végeredményt tört alakban hagyom. |
Sok sikert az egyenletek megoldásához!