Az egyenletek megoldásának alapjai

Az egyenletek témaköre sokak számára nehezen érthető. Gyakran előfordul, hogy bár úgy érzed, érted az egyenletek alapjait, mégis hibás a végeredmény. Ezt sokszor csak a figyelmetlenségnek tudják be, pedig egyszerű erre a megoldás: az egyenleteket is az alapoktól kell elsajátítani. Az egyenleteket addig érdemes gyakorolni, amíg már előre láthatóvá válik számodra, mi lesz a következő lépésed a megoldás során.

Az egyenletek megoldásának alapjai

Mik az egyenletek?

Az egyenletek lényege, hogy az egyenlőségjel mindkét oldala ugyanaz – ezért teszünk közé egyenlőségjelet.

Például:

5 = 5

 

Az ismeretlen mindig egy számot jelöl. Ezt a számot egy betűvel (legtöbbször x) helyettesítjük.

Például:

5 = x

 

Az egyenleteket úgy képzeld el, mint a találós kérdéseket.

Például:

Melyik az a szám, amelyikhez 2-t adva 5-öt kapunk?

x+2 = 5

Ezt fejben is ki tudod számolni. A megoldás a 3, mert 3+2=5.

Az egyenletek megoldása

Az egyenleteket úgy oldjuk meg, hogy rendezzük azokat. Ez azt jelenti, hogy addig pakolgatjuk az ismeretleneket és a számokat az egyenlet egyik oldaláról a másikra, míg ki nem tudjuk számolni az ismeretlent. Ehhez később még további tudnivalókat, trükköket olvashatsz.

Például:

Oldjuk meg a következő egyenletet!

x+2 = 5

  1. Elsőként mindig gondolj arra, hogy ez egy találós kérdés: melyik számhoz kell 2-őt adni, hogy 5-öt kapjunk?
  2. Ezt fejben hogyan számolod ki? Az 5-ből kivonod a 2-t, igaz?
  3. Meg is kaptuk az eredményt, a 3-at.

Matematikai nyelven:

x+2 = 5 /-2
x = 3

Az egyenletek megoldásának alapjai

Az egyenletek megoldásánál a következőkre figyelj:

  • Az egyenletek rendezésénél mindig az egyenletben feltüntetett művelet ellenkezőjét végezzük el.
Egyenletekben lévő művelet Így rendezd az egyenleteket
Összeadás Kivonás
Kivonás Összeadás
Szorzás Osztás
Osztás Szorzás
Hatványozás Gyökvonás
Gyökvonás Hatványozás
  • A műveleti sorrendet itt is be kell tartani, ezért a következő sorrendben végezzük el az egyenletekben a műveleteket:
  1. Zárójelen belüli részben elvégezhető műveletek
  2. Zárójel felbontás (ha több zárójel van, mindig kívülről haladuk befelé)
  3. Hatványozás, gyökvonás
  4. Szorzás, osztás (balról jobbra)
  5. Összeadás, kivonás (balról jobbra)
  • Amikor az egyenleteket rendezed, akkor az egyenletek mindkét oldalán el kell végezned ugyanazt a műveletet, különben felborul az egyenlőség.

Például:

x+2 = 5 /-2
x+2-2 = 5-2 /öv. (összevonás, azaz elvégzem a kivonásokat)
x = 3

Ebben az esetben az egyenlet baloldalából és a jobboldalából is kivontuk a 2-t, így kaptuk meg a 3-at. Ha csak az egyik oldalából vontuk volna ki, nem lett volna jó az eredmény.

  • Az egyenletek rendezésénél mindig arra törekedj, hogy az ismeretlenek az egyik oldalon, a számok a másik oldalra kerüljenek.

Megjegyzések, trükkök az egyenletek megoldásához

  • Azt, hogy mit módosítunk (rendezünk az egyenleteken), mindig egy / jellel írjuk a sorok mellé. A /-2 ezt jelenti, hogy kivonunk 2-t.
  • Érdemes az egyenletet úgy rendezni, hogy a kisebb negatív számokat visszük át a másik oldalra, ugyanis így a végén kevesebb negatív számmal kell dolgoznunk, kisebb a hibázási lehetőség.
  • Az összevonás azt jelenti, hogy nem rendezed az egyenleteket, hanem az egyik vagy mindkét oldalán van elvégezhető összeadás, kivonás, szorzás vagy osztás, így azokat egyszerűen csak kiszámolod.

Például:

x+2 = 5 /-2 (mindkét oldalból kivonunk kettőt)
x+2-2 = 5-2 /öv. (összevonás, azaz elvégzem a kivonásokat, de NEM rendezem)
x = 3
  • A 2x ugyanaz, mint a 2∙x, csak a szorzás jelét elhagyjuk.
  • Ugyanígy, a zárójel elé sem teszünk szorzás jelet, azaz a 2(x+3) ugyanaz, mint a 2∙(x+3).
  • Az x ugyanaz, mint az +1x vagy az +1∙x, csak az +1-et nem írjuk ki.
  • A -x ugyanaz, mint a -1x vagy a -1∙x, csak az 1-et nem írjuk ki.
  • Az x+x egyszerűsíthető úgy, hogy 2∙x vagy 2x.
  • Az egyenlőségjeleket érdemes mindig egymás alá írni, így átláthatóbb a feladat és nem keveredsz bele
  • Ha az egyenlet végeredménye tört, egyszerű ebben a formában felírni, nem kell átírni tizedes törtté, ugyanis például a végtelen tizedes tört pontosabban felírható hagyományos tört alakban.

Példa az egyenletek megoldására – szöveges magyarázattal

Baloldal

=

Jobboldal Elvégzendő művelet Szöveges magyarázat
2+3-5∙2+x = 4:2-2x / öv.

Összevonom, ami tudok az egyenlet rendezése nélkül.

Sorrend a baloldalon:
szorzás
összeadás, kivonás (balról jobbra)

Sorrend a jobboldalon:
osztás

-5+x = 2-2x /+2x Az egyenlet jobboldalán lévő -2x-et átviszem a másik oldalra, azaz mindkét oldalhoz hozzáadok 2x-et. (Azért a -2x-szel foglalkozom, mert az kisebb, mint a +x, így eltűnik a negatív ismeretlen).
-5+3x = 2 /+5 A -5-öt úgy rendezem, hogy az egyenlet mindkét oldalához hozzáadok 5-öt.
3x = 7 /:3 Mivel a 3x ugyanaz, mint a 3∙x, ezért az egyenlet mindkét oldalát osztom 3-mal.
x = Egyenletek A végeredményt tört alakban hagyom.

Sok sikert az egyenletek megoldásához!

Szólj hozzá!