A törtes egyenletek megoldásának trükkjei

A törtes egyenletek általában jelentős fejtörést okoznak. Ha megérted az egyenletek alapvető összefüggéseit és elsajátítod a törtekkel elvégezhető műveleteket, akkor a törtes egyenletek megoldása is könnyebbé válik. Valójában a legegyszerűbb egyenletekhez képest a törtes egyenletek alig tartalmaznak újdonságot, elegendő néhány trükköt alkalmazni.

A törtes egyenletek megoldásának trükkjei pin

Mit kell tudnod a törtes egyenletek sikeres megoldásához?

Amint fent már leírtam, a törtes egyenletek megoldása nem sokban különbözik az egyszerűbb egyenletekétől. Nézzük meg átfogóan, hogyan kell megoldani egy törtes egyenletet:

  • Mérlegelv: a törtes egyenletekre is igaz, hogy az egyenlőségjel mindkét oldala egyenlő, ezért úgy rendezzük az egyenleteket, hogy mindkét oldal egyformán változzon. Az egyenletek ismertetésénél részletesen olvashatod, hogyan rendezzük az egyenleteket.
  • Műveletek törtekkel: ahhoz, hogy hibátlanul tudd megoldani a törtes egyenleteket, a következő törtes műveleteket fontos ismerned:
    • Törtek közös nevezőre hozása
    • Törtek bővítése
    • Törtek egyszerűsítése
    • Törtek összeadása
    • Törtek kivonása
    • Tört szorzása egész számmal
    • Tört szorzása törttel
    • Tört osztása egész számmal
    • Egész szám vagy tört osztása törttel
  • Közös nevező: a törtes egyenletek megoldásának első lépései között szerepel, hogy az egyenletben szereplő törteket közös nevezőre hozzuk.
  • Mínusz jel a tört előtt: ha a tört negatív, akkor hatással van a törtben lévő előjelekre, így megváltoztatja azokat.

Például:

Törtes egyenletek példa

  • Törtek eltüntetése: általában mindenki könnyebben dolgozik egy olyan egyenlettel, amelyben nincsenek törtek. Ezt a törtes egyenleteknél is el tudjuk érni. Miután közös nevezőre hoztuk a törteket, az egyenlet mindkét oldalát beszorozzuk a nevezővel, így eltűnnek a törtek. Ne feledd, az egyenlet minden tagját (az egészeket is) be kell szoroznod!

Például:

Baloldal = Jobboldal

Elvégzendő művelet

Törtes egyenletek - törtek eltüntetése = 3 /∙2
x-3 = 6 /+3
x = 9

Ha rendszeresen elfelejted az egész számot is beszorozni, akkor egyszerűbb, ha azt is törtté alakítod:

Például:

Baloldal = Jobboldal

Elvégzendő művelet

Törtes egyenletek - törtek eltüntetése = 3 /közös nevezőre hozás
Törtes egyenletek - törtek eltüntetése = Törtes egyenletek - közös nevező /∙2
x-3 = 6 /+3
x = 9
  • A 0-val való osztást nem értelmezzük: mivel a matematikában a 0-val való osztásnak nincs értelme, ezért az egyenletben előforduló törtek nevezője nem lehet 0. Ez akkor lényeges, ha az ismeretlen a nevezőben van.

Például, ha az egyenletben az Törtes egyenletek - példa tört tört szerepel, akkor az x nem lehet 3, ugyanis, ha a 3-at behelyettesítjük az x helyére, akkor 0-t kapunk (3-3=0). Ennek megfelelően az egyenlet végeredménye sem lehet 0.

  • Reciprok: Ha a törtes egyenletben a nevezőben szerepel az ismeretlen, akkor az első lépések egyike, hogy minden tag reciprokát vesszük, így az ismeretlen a számlálóba kerül. Ne felejtsd el, hogy az egész számok reciprokát is kell venni!

Például:

Baloldal = Jobboldal

Elvégzendő művelet

Törtes egyenletek - reciprok = 3 /reciprok
Törtes egyenletek - reciproka = Törtes egyenletek - 3 reciproka /∙3
x-2 = 1 /+2
x = 3
  • Eredmény: a törtes egyenletek eredményét legpontosabban tört formában (NEM tizedestört) tudod felírni. Ilyenkor a törtet lehetőség szerint egyszerűsítjük.

Az eredmény meghatározásánál vedd figyelembe azt, amelyet a 0-val való osztásról olvastál.

Példa törtes egyenletek megoldására

Oldjuk meg a következő törtes egyenletet!

Törtes egyenletek - feladat

  1. Mivel kétfajta nevező van, ezért hozzuk közös nevezőre a törteket. A közös nevező a 6 (2∙3) lesz. Az átláthatóság kedvéért érdemes az egész számokat is átírni törtes formába.

Törtes egyenletek - feladat - közös nevező

  1. Beszorozzuk a törtes egyenlet mindkét oldalát 6-tal, így eltüntetjük a törteket.

3(2x-4)+18=60-2(4x-3)

  1. Felbontjuk a zárójelet. Ne felejtsd el, a zárójel előtti mínusz jel megváltoztatja a zárójelben lévő előjeleket!

6x-12+18=60-8x+6

  1. Összevonunk mindent, amit tudunk.

6x+6=66-8x

  1. Az ismeretleneket egy oldalra rendezzük. Érdemes a kisebb ismeretlennel kezdeni, így a -8x-et visszük át úgy a másik oldalra, hogy a törtes egyenlet mindkét oldalához hozzáadunk 8x-et.

14x+6=66

  1. A számokat a másik oldalra rendezzük. A +6-ot visszük át a másik oldalra úgy, hogy a törtes egyenlet mindkét oldalából kivonunk 6-ot.

14x=60

  1. Mivel a 14x=14∙x, ezért a törtes egyenlet mindkét oldalát osztjuk 14-gyel.

Törtes egyenletek - feladat- megoldás

  1. Egyszerűsítjük az eredményt.

Törtes egyenletek - feladat- egyszerűsítés

Sok sikert kívánok a törtes egyenletek megoldásához!

Szólj hozzá!