A legnagyobb közös osztó meghatározása

A legnagyobb közös osztó fogalma sokak számára elsőként különösnek tűnik, pedig nagyon egyszerű témáról van szó. A legnagyobb közös osztó meghatározásának titka néhány egyszerű lépésben rejlik.

Legnagyobb közös osztó

A legnagyobb közös osztó fogalma

Elsőként nézzük meg az osztó szó jelentését. Azt a számot nevezzük osztónak, amelyikkel elosztjuk az eredeti számot.

Például, ha a 10-et el szeretnénk osztani 2-vel, akkor a 2 lesz az osztó. Ha pedig a 60-at szeretnénk elosztani 2-vel, akkor a 2 ismét osztó lesz.

10 : 2 = 5
60 : 2 = 30
osztandó : osztó = hányados

Láthatod, hogy 2-vel osztható a 10 és a 60 is, azaz a 2 mindkét szám osztója. Azt viszont tudjuk, hogy mindkét szám osztható a 2-nél nagyobb számmal is, ezért a 2 nem lehet a legnagyobb közös osztó.

A legnagyobb közös osztó alatt két vagy több szám osztói közül a legnagyobbat értjük. Rövidítése: lnko. Jele: ()

A legnagyobb közös osztó megtalálásával sokkal gyorsabban tudsz törtes feladatokat megoldani, azaz törteket egyszerűsíteni.

Példa a legnagyobb közös osztóra

Nézzük meg a 10 és a 60 osztóit a legnagyobb közös osztó meghatározásához!

Abból ki tudsz indulni a legnagyobb közös osztó meghatározásához, hogy minden szám osztható 1-gyel és önmagával. A 10 osztható 1-gyel és 10-zel, a 60 pedig szintén osztható 1-gyel, de 60-nal is.

Elsőként soroljuk fel egyenként az összes osztót, hogy kiderüljön, melyik a legnagyobb közös osztó!


Láthatod, hogy a 10 és a 60 is osztható 1-gyel, 2-vel, 5-tel, 10-zel. Ezek közül a legnagyobb a 10, ezért ez lesz a két szám legnagyobb közös osztója.

A prímszám fogalma

A legnagyobb közös osztó megtalálása az előbbi módszerrel elég sokáig tartana nagy számok esetében.

Ahhoz, hogy a legnagyobb közös osztót gyorsan ki tudd találni, elsőként meg kell ismernünk a prímszámokat.

Prímszámnak azokat a számokat nevezzük, amelyeknek kizárólag két osztójuk van, azaz csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók. A prímszám a prím és a szám szavakból tevődik össze. A prím szó a prímszám egy másik elnevezése, eredetileg azt jelentette, hogy elsődleges, első, előtt.

Néhány prímszám: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47.

Az 1 nem prímszám, mert nincs két osztója. A 4 sem prímszám, mert osztható 1-gyel, 2-vel és 4-gyel is.

A legnagyobb közös osztó meghatározása gyorsabb módszerrel

A prímszámok azért fontosak a legnagyobb közös osztó meghatározásához, mert ennél a gyorsabb módszernél azt nézzük meg, hogy az adott számok melyik prímszámmal, és hányszor oszthatók. Ezt hívjuk prímtényezős felbontásnak. (A szorzásnál azokat a számokat nevezzük tényezőknek, amelyeket összeszorzunk. Például: 2∙2=4, a 2-esek a tényezők.)

A legnagyobb közös osztó meghatározását és a prímtényezős felbontást tovább tudod gyorsítani, ha ismered az oszthatósági szabályokat.

Nézzünk erre egy példát! Határozzuk meg ezzel a módszerrel a 10 és a 60 legnagyobb közös osztóját!

A következő lépéseken haladunk végig:

  1. Lépés a legnagyobb közös osztó meghatározásához

Úgy kezdjük el, hogy felírjuk a számokat, húzunk mindkettő mellé egy függőleges vonalat. Ezzel sokkal átláthatóbb lesz.

  1. Lépés a legnagyobb közös osztó meghatározásához

A vonal másik oldalára odaírjuk azt a prímszámot, amelyikkel osztani szeretnénk. A prímszámok sorrendje teljesen mindegy, bármelyikkel kezdheted.

Legnagyobb közös osztó

  1. Lépés a legnagyobb közös osztó meghatározásához

Elosztjuk a prímszámmal a számot, majd az eredményt a vonal baloldalára írjuk.

Legnagyobb közös osztó

  1. Lépés a legnagyobb közös osztó meghatározásához

A 2-3. lépéseket ismételjük, addig, amíg már nem találunk több osztót (prímszámot).

  1. Lépés a legnagyobb közös osztó meghatározásához

Felírjuk az adott számokat a prímtényezők szorzataként. Ehhez a vonal jobboldalán lévő számokat szorozzuk össze. Érdemes hatványként írni a számokat, mert a következő lépésben szükség lesz erre a legnagyobb közös osztó meghatározásához.

10=2∙5

60=2∙2∙3∙5=22∙3∙5

  1. Lépés a legnagyobb közös osztó meghatározásához

A két szám legnagyobb közös osztóját úgy kapjuk meg, hogy a mindkét felbontásban előforduló prímszámokat összesorozzuk az előforduló legkisebb hatványon.

Lnko (10; 60)=2∙5=10

Mivel a 3-mal nem osztható a 10, ezért azt nem írtam fel, illetve a 2-t is csak az első hatványon szerepeltettem.

A 10 az a legnagyobb szám, amelyikkel a 10-et és a 60-at is el lehet osztani.

Szólj hozzá!