A másodfokú egyenlet

Ha az egyenletek megoldásával picit is problémád adódott, akkor biztosan ijesztő számodra a másodfokú egyenlet elmélete. Én ehhez szeretnék neked segítséget nyújtani. Ismerd meg és értsd meg a másodfokú egyenlet megoldásának menetét a bemutatott részletes példa alapján!

Mit érdemes átismételned a másodfokú egyenlet megoldásához?

Ahhoz, hogy könnyedén vedd a másodfokú egyenlet akadályait, először érdemes átismételni a hatványozás és a gyökvonás alapjait és az egyenletek megoldásának menetét.

A hatványokról röviden annyit, hogy lényegében két vagy több azonos szám összeszorzásáról van szó. Konkrétabban, a 3·3 hatvány formája: 3². Az alul lévő számot, azaz a 3-at nevezzük a hatvány alapjának, a fenti 2-est pedig a kitevőnek.

A gyökvonás pedig lényegében a hatványozás ellenkezője. Jelen esetben most leginkább a négyzetgyökkel foglalkozunk. Ebben az esetben tudjuk, meg kell nézni, hogy a gyökvonal alatti szám melyik számnak a négyzete, azaz a második hatványa. Például a ugyanaz, mint a . Ezt úgy is felírhatjuk, hogy vagy . Szavakkal ezt úgy tudnám elmondani, hogy keressük azt a számot, amelyiket négyzetre emelve 9-et kapunk. Már látszik is, hogy ez a 3, ezért a .

Az egyenletek megoldásának alapjait pedig átismételheted a honlapon található, példával bemutatott tájékoztató segítségével.

Jó hír, hogy a másodfokú egyenletek feladatinak többségéhez elegendő ennyit tudnod.

Mit kell tudni a másodfokú egyenletről?

A másodfokú egyenletben van olyan ismeretlen, amelyik a második hatványon szerepel.

(Megjegyzésként elmondom, hogy előfordulhat, hogy nem második, hanem például negyedik hatványon van az egyik ismeretlen, de ezzel most nem foglalkozunk, ugyanis egy kis cselt kell csak bevetni és ugyanide jutnánk el.)

Példa a másodfokú egyenletre:

Ebben az esetben is érdemes arra gondolni, hogy az egyenlet valójában egy találós kérdés, ahol az X egy számot jelöl – mi ezt akarjuk megkeresni.

Hogyan kezdjük el a másodfokú egyenlet megoldását?

A másodfokú egyenletnek létezik egy általános alakja, ami csak annyit jelent, hogy picit rendezgetjük a számokat és az ismeretlent, amíg el nem érünk ehhez a sorrendhez az egyenlet baloldalán:

1. 1. Négyzetre emelt ismeretlen
2. 2. Első kitevőjű ismeretlen
3. 3. Egy szám

A másodfokú egyenletet addig rendezzük, amíg a jobboldalon már csak egy nulla marad.

Ha sikerül így felírnod a másodfokú egyenletet, az már fél siker.

Nézzünk erre egy példát a fenti másodfokú egyenlet alapján:

Baloldal	=	Jobboldal	Rendezés
	=	-8	/+8
	=	0	/összevonás
	=	0	/sorrendbe tesszük a fenti pontok szerint (figyelj az előjelekre)!
	=	0

Ennek a felírt formának van egy matematikai nyelven kifejezett alakja is – ezt hívjuk a másodfokú egyenlet általános alakjának:

ax²+bx+c=0

 

Ebben az esetben az a, a b és a c egy számot jelölnek. Ez a szám lehet különböző, de akár ugyanaz is. Az x pedig továbbra is az ismeretlen.

Például:

A felírt másodfokú egyenletben az a=-2, a b=-3, a c=+14. Nagyon fontos, hogy figyelj a számok előtti előjelekre!

Ha eljutottál idáig, akkor jöhet a másodfokú egyenlet megoldása. Ez nem nehéz, csak egy kis trükköt kell hozzá ismerned.

Hogyan oldjuk meg?

Miután felírtad a másodfokú egyenlet általános alakját, ideje megismerkedned a megoldóképlettel. Nagyon jó hír a számunkra, hogy létezik egy ilyen megoldóképlet, mert ezt csak meg kell jegyezned, innentől kezdve pedig már csak számolnod kell egy kicsit.

A másodfokú egyenlet megoldóképlete így néz ki:

Az X_1;2 azt jelenti, hogy a másodfokú egyenletnek két megoldása is lehet.

Az a, a b és a c pedig az általános alakban lévő számok.

Azt már megállapítottuk, hogy:

a=-2
b=-3
c=+14

Ezeket a számokat helyettesítjük be a megoldóképletbe:

Ezekre nagyon figyelj:

• A megoldóképletben –b szerepel, ezért a b helyén lévő számnak meg kell változtatni az előjelét. ennek az oka: -b=-(-3)=+3, mert a mínusz szorozva a mínusszal, plusz lesz.
• Bármely negatív szám második hatványa pozitív, ezért, ha a b negatív, akkor a gyökvonal alatt a négyzetre emelés után pozitív lesz. Ennek oka: b²=(-3)²=(-3)·(-3)=+9, mert a mínusz szorozva a mínusszal, plusz lesz.
• A gyökvonal alatti szorzásnál (-4ac), ha a szorzás a vagy c tagja mínusz, akkor a mínusz szorozva a mínusszal, plusz lesz. Például: (-4)·(-2)·14=+112
• A gyökvonal alatti szorzásnál (-4ac), ha az a és a c is mínusz, akkor negatív marad, mert lényegében már három mínuszt szorzunk össze. Például: (-4)·(-2)·(-14)=(+8)·(-14)=-112
• A gyökvonal alatt nem állhat negatív szám. Ha a gyökvonal alatt elvégzed az összevonást és negatív eredményt kapsz, akkor a másodfokú egyenletnek nincs megoldása.
• Ha kiszámolod a tört számlálóját és nevezőjét is külön-külön, akkor figyelni kell az előjelekre. Ha a számláló és a nevező egyike negatív, akkor az eredmény is negatív. Ha a számláló és a nevező is (mindkettő) negatív, akkor az eredmény pozitív, mert mínusz osztva mínusszal, plusz lesz.

Példa a  megoldására – a lépések bemutatása

Oldjuk meg a már ismert egyenletet lépésről-lépésre!

1. Rendezd az egyenletet a másodfokú egyenlet általános alakjára – ehhez vonj mindent össze, amit csak lehet!

2. Elsőként érdemes felírni, hogy melyik az a, a b és a c.

a= -2

b= -3

c= +14

3. Helyettesíts be a megoldóképletbe! Rengeteget segít az is, ha előtte felírod a megoldóképletet.


Megjegyzés: mivel a gyökvonal elé -b-t írunk, ezért a b-nek mindig megváltozik az előjele.

4. Számold ki a gyök alatti részt!

5. Vonj gyököt!

6. Számold ki a nevezőt!

7. A másodfokú egyenletnek úgy lesz két megoldása, hogy a számlálóban ± szerepel, ezért a 3-hoz egyszer hozzáadjuk a 11-et, utána pedig kivonjuk belőle, majd kiszámoljuk a törtet:

Első megoldás	Második megoldás
Ha tudsz, akkor egyszerűsíts (ha nem tudod elvégezni az osztást, akkor nyugodtan hagyhatod tört alakban):

Sok sikert!